Dalla geometria di Euclide alla geometria dell’Universo: by Ferdinando Arzarello, Cristiano Dané, Laura Lovera, Miranda

By Ferdinando Arzarello, Cristiano Dané, Laura Lovera, Miranda Mosca, Nicoletta Nolli, Antonella Ronco

Il testo confronta con los angeles usuale geometria del piano (euclidea) vari tipi di geometrie che si hanno su superfici be aware e meno notice: geometria sulla sfera, sul cilindro, sul cono e sulla pseudosfera. L'idea di fondo è di giungere alla descrizione "intrinseca" di queste geometrie analizzando che cosa significa l'andare diritto su queste superficie (cioè l'idea di geodetica). Si giunge così a vari tipi di geometrie che si discostano da quella euclidea usuale: geometrie localmente euclidee (su cilindro e cono deprivato del vertice), geometria ellittica (sulla sfera), geometria iperbolica (sulla pseudosfera). Si scopre che l. a. chiave di volta concettuale che distingue queste different geometrie è los angeles nozione di curvatura gaussiana, rispettivamente nulla su piani, cilindri, coni; (costante) positiva sulla sfera e (costante) negativa sulla pseudosfera. In relazione a queste idee matematiche si sviluppano anche vari temi interdisciplinari: si studiano advert esempio le caratteristiche delle carte geografiche che rappresentano l. a. Terra a partire dal problema di determinare l. a. rotta migliore tra due localit� (porti, aereoporti); si indaga sulla curvatura del nostro universo; si descrivono le leggi geometriche su cui si basa l. a. tecnologia dei GPS. Non si trascurano gli aspetti fondazionali, analizzando quali assiomi della Geometria Euclidea valgano o meno e perché nelle nuove geometrie.

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Riassumendo, la geometria euclidea nella formulazione data da Hilbert risulta essere completa, coerente, categorica e formata da assiomi indipendenti. 5 La geometria sulla sfera e` euclidea? Le riflessioni sui fondamenti di una teoria assiomatica, e in particolare sui fondamenti della Geometria del piano, che ci hanno impegnato nei paragrafi precedenti, avevano lo scopo di fornirci gli strumenti pi`u appropriati per rispondere in modo rigoroso alla domanda focale di tutto il nostro discorso: e` possibile costruire un modello del sistema assiomatico di Euclide/Hilbert, interpretando sulla superficie sferica S i termini primitivi, ovvero sostituendo a punti e rette del piano i loro corrispondenti sulla sfera?

Il sistema hilbertiano non e` l’unico. Esistono anche altri sistemi basati su altre idee. Ricordiamo qui quelli elaborati da Peano e dalla sua scuola, in particolare da Pieri, da O. Veblen e da A. Tarski. Nei paragrafi successivi analizzeremo le linee essenziali dell’impostazione euclidea e hilbertiana della geometria del piano, scoprendo le leggi che la fondano: approfondiremo cos`ı quelle conoscenze che meglio potranno guidarci nell’esplorazione del “nuovo mondo” e dare senso teorico alle nuove esperienze fatte.

E proprio lo stesso osservatore constaterebbe che, poich´e da ogni punto dell’equatore e` possibile tracciare un meridiano, e tutti i meridiani convergono nei poli, si pu`o in generale dire che tutte le “rette” perpendicolari a una stessa “retta”, l’equatore, passano per due punti antipodali. Dunque l’unicit`a della perpendicolare per un punto a una “retta” e` assicurata solo se il punto non e` un punto speciale, non se si tratta cio`e di uno dei poli relativi alla “retta” considerata. 6 Per il punto P passa una sola perpendicolare all’equatore, nel punto Q convergono le due perpendicolari condotte da A e B Dalla geometria di Euclide alla geometria dell’Universo 40 II Postulato (che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta) attribuisce alla linea retta il carattere di linea aperta che, all’occorrenza, pu`o essere prolungata indefinitamente assumendo cos`ı la caratteristica di essere illimitata.

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